Parece que você já fez uma investigação bastante detalhada e eliminou muitas das variáveis comuns, o que é ótimo. O fato de o computador ligar sozinho e os LEDs do painel frontal apresentarem comportamento anormal pode realmente apontar para problemas na placa-mãe, especificamente com a BIOS, como você mencionou.
Como você já testou outros componentes e confirmou que funcionam, o próximo passo lógico seria tentar regravar a BIOS, especialmente considerando que você já salvou o arquivo atual. Não encontrar a BIOS no site do fabricante é frustrante, mas você pode tentar a seguinte alternativa:
Analisar comportamentos elétricos: Como a placa liga sozinha, vale a pena também verificar os capacitores ao redor do chip de BIOS e o circuito de alimentação. Se houver algum capacitor inchado ou vazando, isso pode afetar o comportamento da placa e seria uma solução relativamente simples.
Se conseguir uma BIOS nova ou resolver o problema de outra forma, não esqueça de atualizar o tópico com os resultados. Boa sorte com o projeto, e espero que a comunidade possa ajudar com uma cópia da BIOS!