Tem que ver a sequencia de start dele pra te falar com precisão.
Mano, se tiver esse chip aí novo, eu colocaria, jah tive problemas com BGA que são exatamente esses dintomas, plugar o carregador e ele starta de uma vez mas morre depois, e por aí vai.
É bom saber do histórico do note. Particularmente eu sempre pergunto bastante, pra me ajudar a diagnosticar, dependendo do histórico podemos ter mais certeza sobre um chipset sul ou norte, as falhas são diferentes pois controlam diferentes setores da placa.
Enfim, eu trocaria esse chip que vc rebalou e antes disse checava se ele não esta em curto fazendo a leitura dos capacitores dele com multímetro em escala de resistência ou continuidade. deu resistência muito baixa, troca o chipset.
Reballing não é tudo a troca do chip que eu sempre indico. Trabalhar com BGA mantendo chip costuma ser dor de cabeça pra te falar a verdade.